DAY14 - 벡터의 성분과 분해
벡터의 성분과 분해
- 어떤 벡터 $c$가 다른 두 벡터의 합으로 표현될 때 $ c = a + b $, $a$ 와 $b$를 벡터 $c$의 성분이라고 한다.
- 또한 벡터 $c$가 두 벡터 성분 $a, b$로 분해된다고 한다.
투영성분과 직교성분
- 벡터 $a$를 다른 벡터 $b$에 직교하는 성분과 벡터 $b$에 평행한 성분으로 분해할 수 있는데, 평행한 성분을 벡터$b$에 대한 투영성분, 직교하는 성분을 벡터 $b$에 대한 직교성분이라고 하며 다음과 같이 표기한다.
$$ projection\ componenet = a^{||b} $$
$$ rejection\ compoenet = a^{\perp b}$$
$$ a = a^{||b} + a^{\perp b} $$
- 투영성분은 벡터 $b$와 평행한 성분이므로 방향이 같다. 따라서 투영성분은 $b$ 방향의 단위 벡터에 투영성분의 길이만큼을 곱해준 벡터이다.
$$ a^{||b} = \begin{Vmatrix}a^{||b}\end{Vmatrix}\frac{b}{\begin{Vmatrix}b\end{Vmatrix}} $$
- 투영성분의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.
$$\begin{Vmatrix}a^{||b}\end{Vmatrix} \\= \begin{Vmatrix}a\end{Vmatrix} \cos \theta\\ =\frac{\begin{Vmatrix}a\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}b\end{Vmatrix}\cos \theta}{\begin{Vmatrix}b\end{Vmatrix}} \\= \frac{a^Tb}{\begin{Vmatrix}b\end{Vmatrix}}$$
- 따라서 투영성분은 다음과 같다.
$$a^{||b} = \begin{Vmatrix}a^{||b}\end{Vmatrix}\frac{b}{\begin{Vmatrix}b\end{Vmatrix}} = \frac{a^Tb}{\begin{Vmatrix}b\end{Vmatrix}^2}b$$
- 직교성분은 원래 벡터에서 투영성분 벡터를 뺀 값이다.
$$ a^{\perp b} = a - a^{||b} $$
직선의 방정식
- 어떤 벡터 $w$가 있을 때, 이 벡터가 가리키는 방향과 수직인 직선의 방정식을 계산할 수 있다.
- 수직인 직선은 $w$가 가리키는 방향과 같은 방향을 가리키는 임의의 벡터 $cw$와 만날 수밖에 없다.
- 직선 위의 임의의 점을 가리키는 벡터 $x$를 $cw$에 직교하는 성분과 평행한 성분으로 분해하면 $ x = x^{||cw} + x^{\perp cw} $가 된다.
- $x^{\perp cw} = x-cw$ 이므로 두 벡터 $cw$ 와 $(x-cw)$의 내적 값은 0이 되어야 합니다.
$$ cw^T(x-cw) = 0 \\ w^Tx - cw^Tw = 0 \\ w^Tx - c\begin{Vmatrix}w\end{Vmatrix}^2 = 0$$
- 이 직선과 원점 사이의 거리는 투영성분의 길이이며, 투영성분이 곧 벡터 $cw$가 되므로, $ 직선과 원점 사이의 거리 = \begin{Vmatrix}cw\end{Vmatrix} = c\begin{Vmatrix}w\end{Vmatrix} $
직선 위에 있지 않은 점 직선의 사이의 거리
- 위와 같이 어떤 벡터 $w$가 있을 때 그와 수직인 직선의 방정식은 $ w^Tx - c\begin{Vmatrix}w\end{Vmatrix}^2 = 0$ 입니다.
- 이 직선 위에 있지 않은 임의의 점 $x'$과 직선 사이의 거리는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- (원점과 직선 사이의 거리 - x'의 투영성분의 길이)의 절대값
$$ |\ c\begin{Vmatrix}w\end{Vmatrix} - \begin{Vmatrix}x'^{||w}\end{Vmatrix}\ | = |\ c\begin{Vmatrix}w\end{Vmatrix} - \frac{w^Tx'}{\begin{Vmatrix}w\end{Vmatrix}} \ | = \frac{|\ c\begin{Vmatrix}w\end{Vmatrix}^2 - w^Tx'\ |}{\begin{Vmatrix}w\end{Vmatrix}}$$